7.2 点估计的评价标准

1. 无偏性

特别地，

• 样本均值 $\overline{X}$ 是总体均值 $\mu$ 的无偏估计量。
• 样本二阶原点矩 $M_2=\frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}X_i^2$ 是总体二阶原点矩 $E(X^2)$ 的无偏估计量。

2. 有效性

==算术均值比加权均值更有效==

Rao-Cramer不等式

3. 一致性 (相合性)

注：一致估计不要求无偏性。

• 样本 $k$ 阶矩是总体 $k$ 阶矩的一致估计量。（大数定律）

$$\begin{aligned} M_k &= \frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}X_i^k\xrightarrow{P}E(X^k) \end{aligned}$$

• 样本方差是总体方差的一致估计量。
• 样本二阶中心矩也是总体方差的一致估计量。

==性质==：设 $\hat{\theta_n}$ 是 $\theta_n(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ 的无偏估计量，且

$$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}D(\hat{\theta_n})=0 \end{aligned}$$

则 $\hat{\theta_n}$ 是 $\theta_n$ 的一致估计量。